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4bitにっき

ぽよ

【うぃんじー Advent Calendar 2016】(11日目ではない)今日の線形代数

www.adventar.org
この記事はうぃんじーAdventCalendarの11日目の記事として書かれています

正則行列

n次正方行列Aで, n次正方行列BによってAB = BA = E_{n}ができるときA正則行列といい, Bをその逆行列という.

逆行列の一意性

証明

B,B'はAの逆行列であるとする.
 B = B(AB') = (BA)B' = B'
より一意性が示された.  \large \Box

正則行列の積の逆行列

n次正則行列A,Bの積AB正則行列であり, (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}である.

証明

(AB)(B^{-1}A^{-1})=E_{n} \ , \ \ (B^{-1}A^{-1})(AB)=E_{n}
よりABの逆行列
(AB)^{-1} = (B^{-1}A^{-1}) \large \Box

逆行列が見つかればそれが逆行列である

という事実が書いてあったが証明はまだらしい.