4bitにっき

ぽよ

【うぃんじー Advent Calendar 2016】(9日目ではない)今日の線形代数

www.adventar.org
この記事はうぃんじーAdventCalendarの9日目の記事として書かれています

線形代数だよ

お頭が悪いので高度なことはやらない.
数学系の記事を書こうと思うと, 参考書を読んだ後にガバガバにまとめるだけなので内容がほぼそのままになりそうなんだけど, 大丈夫だろうか.

任意の正方行列 $A$ は, 対称行列と交代行列の和で一意的に表せる.

証明

なんとなく $A$ から対称行列と交代行列を作ろうと思うと, $A+{}^tA, A-{}^tA$ というのを思いつく.
実際, $A$ は対称行列 $\Large \frac{A+{}^tA}{2}$ と交代行列 $\Large \frac{A-{}^tA}{2}$ の和で表せる.

一度 $A$ を忘れて, 任意の正方行列が対称行列と交代行列の和で一意的に表せることを示すことを考える.
$A,A'$ を対称行列, $B,B'$ を交代行列とする.
ここである正方行列が2通りに表せてしまうとすると,
$A+B = A'+B'$
変形して
$A-A' = B-B'$
つまり対称行列かつ交代行列であることが分かるが, それはゼロ行列にほかならない.(感動ポイント)
よって $A=A', B=B'$ である.
これで一意性が示された. $\large \Box$ ←右寄せしたい